解放軍文職招聘考試埃及數(shù)學的主要內(nèi)容-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 18:18:50埃及數(shù)學的主要內(nèi)容根據(jù)埃及紙草書的記載，古埃及人對算術(shù)、代數(shù)、幾何等數(shù)學知識已經(jīng)有了初步認識，并能做簡單地應用．現(xiàn)簡要介紹如下：一、算術(shù)古埃及人所創(chuàng)建的數(shù)系與羅馬數(shù)系有很多相似之處，具有簡單而又純樸的風格，并且使用了十進位制，但是不知道位值制．古埃及人是用象形文字來表示數(shù)的，例如根據(jù)史料記載，上述象形文字似乎只限于表示107以前數(shù)．由于是用象形文字表示數(shù)，進行相加運算是很麻煩的，必須要數(shù) 個位數(shù) 、 十位數(shù) 、 百位數(shù) 的個數(shù)．但在計算乘法時，埃及人采取了逐次擴大2倍(duplication)的方法，運算過程比較簡便．乘法：古埃及人采用反復擴大倍數(shù)的方法，然后將對應結(jié)果相加．例如蘭德紙草書(希特版)第32頁，記載著12 12的計算方法，是從右往左讀的．右邊用現(xiàn)代數(shù)字表示，這就是倍增法(duplatio)．由下表可知，計算的方法是把12依次擴大2倍，那么12 12為12的4倍加上12的8倍，恰是12的12倍，并把要加的數(shù)在右側(cè)(現(xiàn)代阿拉伯數(shù)字在左側(cè))標記斜線，算得結(jié)果144．在更早的時期，埃及人也曾采用 減半法 來計算乘法．首先是將一乘數(shù)擴大10倍，然后再計算10倍的一半．例如紙草書(卡芬版)第6頁，計算16 16，是按如下方法計算的，即減半法(mediatio)．/1 16/10 160/5 80合計 256這種乘法的計算方法是古代人計算技能的基礎(chǔ)，是非常古老的方法．希臘時期的學校曾講授過埃及人的計算方法，到了中世紀，還講授 倍增法 和 減半法 ．除法：埃及人很早就認識到除法是乘法的逆運算，并蘊含在實際計算之中．例如，計算1120 80(見蘭德紙草書第69頁)．1 80/10 8002 160/4 320合計 1120以上求解的基本思路是10倍的80加4倍的80，恰好是1120，即1120中含有14個80．分數(shù)：古埃及人對分數(shù)的記法和計算都比現(xiàn)在復雜得多．例如，他分叫做 第三部分 ．例如，這樣，通過二個部分與第三部分；三個部分與第四部分的結(jié)合來表示出一個整體．現(xiàn)在的西歐，有時也用第三(third)、第四(fourth)、第五(fifth)等語言來表達三分之一、四分之一這類分數(shù)的含義．按此規(guī)律理解，五分之一可認為與四個部分結(jié)合成一個整體的第五部分．從語言的角度，五分之二(twofifths)就無法表達了．隨著分數(shù)范圍的不斷擴大，計算方法的不斷改進，埃及人用 單位分數(shù) (分子是1的分數(shù))來表示分數(shù)：對一般分數(shù)則拆成 單位分數(shù) 表示①．例如，(用現(xiàn)代符號表示)
解放軍文職招聘考試劉徽的數(shù)學成就-解放軍文職人員招聘-軍隊文職考試-紅師教育
發(fā)布時間：2017-11-22 19:20:28劉徽的數(shù)學成就一、劉徽生平劉徽是中國古代最偉大的數(shù)學家之一．他是三國時代魏國人，籍貫山東，生卒年不詳，約死于西晉初年．劉徽出身平民，終生未仕，被稱為 布衣 數(shù)學家．劉徽在童年時代學習數(shù)學時，是以《九章算術(shù)》為主要讀本的，成年后又對該書深入研究，于公元263年左右寫成《九章算術(shù)注》，劉徽自序說： 徽幼習《九章》，長再詳覽．觀陰陽之割裂，總算術(shù)之根源．探賾之暇，遂悟其意，是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注． 劉徽在研究《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上，對書中的重要結(jié)論一一證明，對其錯誤予以糾正，方法予以改進，并提出一些卓越的新理論、新思想．《九章算術(shù)注》是劉徽留給后世的十分珍貴的數(shù)學遺產(chǎn)，是中國傳統(tǒng)數(shù)學理論研究的奠基之作．劉徽還著有《重差》一卷，專講測量問題．他本來把《重差》作為《九章算術(shù)注》的第十卷，唐代初年改為單行本，并將書名改作《海島算經(jīng)》，流傳至今．從劉徽著作來看，他學風嚴謹，實事求是，而且富于批判精神，敢于創(chuàng)新，理論研究相當深入，堪稱數(shù)學史上的一代楷模．二、《九章算術(shù)注》此為劉徽的力作，反映了他在算術(shù)、代數(shù)、幾何等方面的杰出貢獻．1．算術(shù)(1)十進分數(shù)劉徽之前，計算中遇到奇零小數(shù)時，就用帶分數(shù)表示，或者四舍五入．劉徽首創(chuàng)十進分數(shù)，用以表示無理根的近似值．這種記數(shù)法與現(xiàn)代劉徽用忽來表示，但a后各位就不必再命名了，劉徽稱它們?yōu)?微數(shù) ，說： 微數(shù)無名者以為分子，其一退以十為母，其再退以百為母．退之彌下，其分彌細． 這種方法，與我們現(xiàn)在開平方求無理根的十進小數(shù)近似值的方法一致，即其中a1，a2， ，an是0至9之間的一位整數(shù)．(2)齊同術(shù)《九章算術(shù)》中雖有分數(shù)通分的方法，但沒有形成完整理論，劉徽提出齊同術(shù)，使這一理論趨于完善．他說： 凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同． 又進一步提出通分后數(shù)值不變的理論依據(jù)，即 一乘一除，適足相消，故所分猶存 法實俱長，意亦等也 ．前句話的意思是，一個分數(shù)用同一個(非零)數(shù)一乘一除，其值不變；后句話的意思是，分數(shù)的分子、分母擴大同一倍數(shù)，分數(shù)值不變．劉徽指出， 同 即一組分數(shù)的公分母， 齊 是由 同 而來的，是為了使每個分數(shù)值不變．另外，劉徽還將齊同術(shù)引而伸之，用來解釋方程及盈不足問題．2．代數(shù)(1)對正負數(shù)的認識《九章算術(shù)》成書后，正負數(shù)的運算越來越廣泛，但究竟應該如何認識正負數(shù)，卻很少有人論及．劉徽在《九章算術(shù)注》中首次給出正負數(shù)的明確定義： 今兩算得失相反，要令正負以名之． 就是說以正負數(shù)表示得失相反的量．他還進一步闡述正負的意義： 言負者未必負于少，言正者未必正于多． 即負數(shù)絕對值未必少，正數(shù)絕對值未必大．另外，他又提出籌算中表示正負數(shù)的兩種方法：一種是用紅籌表正數(shù)，黑籌表負數(shù)；再一種是以算籌擺法的正、斜來區(qū)別正、負數(shù)．這兩種方法，對后世數(shù)學都有深遠影響．(2)對線性方程組解法的改進《九章算術(shù)》中用直除法解線性方程組，比較麻煩．劉徽在方程章的注釋中，對直除法加以改進，創(chuàng)立了互乘相消法．例如方程組劉徽是這樣解的：(1) 2，(2) 5，得(4)-(3)，得21y＝20(下略)．顯然，這種方法與現(xiàn)代加減消元法一致，不過那時用的是籌算．劉徽認為，這種方法可以推廣到多元， 以小推大，雖四、五行不異也． 他還進一步指出， 相消 時要看兩方程首項系數(shù)的同異，同則相減，異則相加．劉徽的工作，大大減化了線性方程組解法．(3)方程理論的初步總結(jié)劉徽在深入研究《九章算術(shù)》方程章的基礎(chǔ)上，提出了比較系統(tǒng)的方程理論．劉徽所謂 程 是程式或關(guān)系式的意思，相當于現(xiàn)在的方程，而 方程 則相當于現(xiàn)在的方程組．他說： 二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之．并列為行，故謂之方程． 這就是說： 有兩個所求之物，需列兩個程；有三個所求之物，需列三個程．程的個數(shù)必須與所求物的個數(shù)一致．諸程并列，恰成一方形，所以叫方程． 這里的 物 ，實質(zhì)上是未知數(shù)，只是當時尚未抽象出未知數(shù)的明確概念．定義中的 皆如物數(shù)程之 是十分重要的，它與劉徽提出的另一原則 行之左右無所同存 ，共同構(gòu)成了方程組有唯一組解的條件．若譯成現(xiàn)代數(shù)學語言，這兩條即：方程個數(shù)必須與未知數(shù)個數(shù)一致，任意兩個方程的系數(shù)不能相同或成比例．劉徽還認識到，當方程組中方程的個數(shù)少于所求物個數(shù)時，方程組的解不唯一；如果是齊次方程組，則方程組的解可以成比例地擴大或縮小，即 舉率以言之 ．對于方程組的性質(zhì)，劉徽總結(jié)出如下諸條： 令每行為率 ，即方程各項成比例地擴大或縮小，不改變方程組的解； 每一行中，雖復赤黑異算，無傷 ，即方程各項同時變號，不改變方程組的解； 舉率以相減，不害余數(shù)之課也，即兩方程對應項相減，不改變方程組的解．很明顯，劉徽對于線性方程組的初等變換，已經(jīng)基本掌握了．不過，他沒有考慮交換兩個方程的位置，因為不進行這種變換亦可順利求出方程組的解，而且調(diào)換算籌的位置是不方便的．3．幾何(1)割圓術(shù)劉徽以前，一般采用周三徑一的圓周率，這是很不精確的．劉徽在《九章算術(shù)注》中指出：周三徑一的數(shù)據(jù)實際是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值，不是圓周與直徑的比值．他認為圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，其面積就越接近圓面積．他從這一思想出發(fā)，創(chuàng)立了科學的求圓周率方法---割圓術(shù)．具體來說，就是以1尺為半徑作圓，再作圓內(nèi)接正六邊形，然后逐漸倍增邊數(shù)，依次算出內(nèi)接正六邊形、正12邊形乃至正192邊形的面積．劉徽之所以選半徑為1，是為了使圓面積在數(shù)值上等于圓周率，從而簡化運算．他利用公式(ln為內(nèi)接正n邊形邊長，S2n為內(nèi)接正2n邊形面積)來求各正多邊形面積．至于正多邊形邊長，他是反復利用勾股定理來求的．例如，由以下三式即可求得正12邊形邊長(圖4．14)：TR＝OR-OT，后，便根據(jù)S192＜S＜S192＋(S192－S96)劉徽舍棄分數(shù)部分，取圓面積為314平方寸，從而得到 ＝3．14、 這種方法可以求得任意精度的圓周率近似值，劉徽對這一點是很清楚的．不過，他根據(jù)當時的需要，運算中只取到兩位小數(shù)．割圓術(shù)的創(chuàng)立是數(shù)學史上的一件大事．古希臘的阿基米德(Archimedes，公元前287---前212)也曾用割圓術(shù)求圓周率，他的方法是以圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形同時逼近圓，比劉徽的方法麻煩一些．劉徽的成就晚于阿基米德，但是獨立取得的．(2)幾何定理的證明劉徽采用出入相補原理，證明了《九章算術(shù)》中許多幾何公式和定理．例如，他在證明三角形面積公式時，思路如下：把三角形的高h二自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也，合成弦方之冪． 可惜的是原圖失傳，所以不知劉徽怎樣 出入相補 ．劉徽在研究立體幾何時，發(fā)現(xiàn) 邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也 ．即 過對角面分割塹堵為一個陽馬(圖4 16中ABCDE)和一個鱉臑(圖4 16中DEFC)，則陽馬與鱉臑的體積之比恒為二比一． 為敘述方便，我們稱之為陽馬定理．劉徽從長方體體積公式出發(fā)證明了這一定理，然后用它證明了各種多面體的體積公式．另外，他還發(fā)現(xiàn)了一條重要原理：對兩個等高的立體，若用平行于底面的平面截得的面積之比為一常數(shù)，則這兩立體的體積之比也等于該常數(shù)．這一原理可稱為 劉徽原理 ．在《九章算術(shù)注》中，劉徽多次運用了這一原理，例如，圓臺體積∶外切正四梭臺體積=圓面積∶外切正方形面積= ∶4．書中對圓錐、圓臺等旋轉(zhuǎn)體體積公式的推導，都是以劉徽原理為依據(jù)的．(3)對球體積的研究劉徽發(fā)現(xiàn)了《九章算術(shù)》中球體積公式不正確，試圖利用劉徽原理求出正確的球體積公式．他首先作球的外切立方體，然后用兩個直徑等于球徑的圓柱從立方體內(nèi)切貫穿(圖4．17)．于是，球便被包在兩圓柱相交的公共部分，而且與圓柱相切．劉徽只保留兩圓柱的公共部分，取名 牟合方蓋 ．(圖4．18)根據(jù)劉徽原理，球體積與牟合方蓋體 體積，整個問題就迎刃而解了．劉徽沒有成功，只好 以俟能言者 ．但他的思路正確，為后人解決這一問題打下了基礎(chǔ)．4．劉徽的極限觀念從《九章算術(shù)注》可以看到，劉徽具有明確的極限思想．他把極限用于代數(shù)和幾何研究，取得重要成果．這說明極限思想從春秋戰(zhàn)國時期萌芽以后，到這時已有較大發(fā)展．例如，劉徽的割圓術(shù)便建立在極限理論的基礎(chǔ)上．他說： 割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣． 就是說當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，正多邊形面積的極限便是圓的面積．他還把割圓術(shù)用于求弓形面積．如圖4．19，劉徽在弓形內(nèi)為弓形面積．顯然，用此方法可使弓形面積達到任何需要的精確度．劉徽在研究開方不盡的問題時，認為求出的位數(shù)越多，就越接近真值，但永遠不會達到真值，只能根據(jù)需耍，求到 雖有所棄之數(shù)，不足言之也 的程度．劉徽正是在這種極限觀念的基礎(chǔ)上創(chuàng)立十進分數(shù)的．他在征明有關(guān)體積的定理(如陽馬定理)時也用到極限，并深刻地指出，極限問題 謂以情推，不用籌算 ，就是說研究極限靠思維和推理而不靠具體計算．
